Как сделать синусоиду в excel?

Примеры использования функций SIN, SINH, COS и COSH в Excel

Пример 1. Путешественник движется вверх на гору с уклоном в 17°. Скорость движения постоянная и составляет 4 км/ч. Определить, на какой высоте относительно начальной точке отсчета он окажется спустя 3 часа.

Таблица данных:

Для решения используем формулу:

=B2*B3*SIN(РАДИАНЫ(B1))

Описание аргументов:

• B2*B3 – произведение скорости на время пути, результатом которого является пройденное расстояние (гипотенуза прямоугольного треугольника);
• SIN(РАДИАНЫ(B1)) – синус угла уклона, выраженного в радианах с помощью функции РАДИАНЫ.

В результате расчетов мы получили величину малого катета прямоугольного треугольника, который характеризует высоту подъема путешественника.

Графики функций с модулем

Для качественного усвоения материала необходимо понимать, что такое модуль. Краткую информацию о нём можно найти на странице Математические формулы и таблицы в справочном материале Горячие формулы школьного курса математики.

Применение модуля тоже представляет собой геометрическое преобразование графика. Не буду создавать сверхподробный мануал, отмечу только те моменты, которые, с моей точки зрения, реально пригодятся для решения других задач по вышке.

Сначала посмотрим, что происходит, когда модуль применяется к АРГУМЕНТУ функции.

Правило: график функции  получается из графика функции  следующим образом: при  график функции  сохраняется, а при  «сохранённая часть» отображается симметрично относительно оси .

Пример 22

Построить график функции

И снова вечная картина:
Согласно правилу, при  график сохраняется:
И сохранившаяся часть отображается симметрично относительно оси   в левую полуплоскость:

Действительно, функция  – чётная, и её график симметричен относительно оси ординат. Поясню детальнее смысл симметрии. Посмотрим на два противоположных значения аргумента, например, на  и . А какая разница? Модуль всё равно уничтожит знак «минус»: , то есть значения функции будут располагаться на одной высоте.

Функцию от модуля можно расписать в так называемом кусочном виде по следующему правилу: . В данном случае:

То есть, правая волна графика  задаётся функцией , а левая волна – функцией  (см. Пример 13).

Пример 23

Построить график функции

Аналогично, ветвь «обычной» экспоненты  правой полуплоскости отображаем симметрично относительно оси  в левую полуплоскость:
Распишем функцию в кусочном виде: , то есть правая ветвь задаётся графиком функции , а левая ветвь графиком .

Модуль не имеет смысл «навешивать» на аргумент чётной функции:  и т.п. (проанализируйте, почему).

И, наконец, завершим статью весёлой нотой – применим модуль к САМОЙ ФУНКЦИИ.

Правило: график функции  получается из графика функции  следующим образом: часть графика , лежащая НАД осью  сохраняется, а часть графика , лежащая ПОД осью  отображается симметрично относительно данной оси.

Странно, что широко известный график модуля «икс» оказался на 24-й позиции, но факт остаётся фактом =)

Пример 24

Построить график функции

Сначала начертим прямую, известную широкому кругу лиц:
Часть графика, которая ВЫШЕ оси , остаётся неизменной, а часть графика, которая НИЖЕ оси  – отображается симметрично в верхнюю полуплоскость:

Модуль функции также раскрывается аналитически в кусочном виде:

Внимание! Формула отличается от формулы предыдущего пункта!

В данном случае: , действительно, правый луч задаётся уравнением , а левый луч – уравнением .

Кстати,  – редкий экземпляр, когда можно считать, что модуль применён, как к аргументу: , так и  к самой функции: . Изучим более «жизненную» ситуацию:

Пример 25

Построить график функции

Сначала изобразим график линейной функции :
То, что ВЫШЕ оси абсцисс – не трогаем, а то, что НИЖЕ – отобразим симметрично относительно оси  в верхнюю полуплоскость:

Согласно формуле , распишем функцию аналитически в кусочном виде: .

Или, упрощая оба этажа: , то есть правый луч задаётся функцией , а левый луч – функцией . Сомневающиеся могут взять несколько значений «икс», выполнить подстановку и свериться с графиком.

На какие функции модуль «не действует»? Модуль бессмысленно применять к неотрицательным функциям. Например: . Экспоненциальная функция и так полностью лежит в верхней полуплоскости: .

Всё возвращается на круги своя, синусом начали, синусом и закончим. Как в старой доброй сказке:

Пример 26

Построить график функции .

Изобразим сами знаете что =)

И снова – то, что находиться в верхней полуплоскости – оставим в покое, а содержимое подвала – отобразим симметрично относительно оси :

Кстати, понятен ли вам неформальный смысл такого симметричного отображения? Модуль «съедает» у  отрицательных чисел знак и делает их положительными, именно поэтому «подвальные» точки занимают противоположные места в верхней полуплоскости.

Распишем функцию в кусочном виде:

Решив два простейших школьных неравенства , получаем:, где  – любое целое число.

Да, статья была не самой приятной, но крайне необходимой. Однако повествование завершилось и стало немножко грустно =) Чем-то напомнило мне всё это урок про метод Симпсона, который тоже создавался в марте, и тоже достаточно долгое время. Наверное, громоздкие вещи пишутся по сезону =)

Желаю успехов!

(Переход на главную страницу)

График синуса и косинуса

Заметим, что координаты точек, лежащей на единичной окружности, варьируются в пределах от – 1 до 1. Это означает, что значение синуса и косинуса также может находиться только в интервале между этими числами. Получается, что область значения этих ф-ций – это промежуток .

Вычислить синус и косинус можно для абсолютно любого угла поворота, поэтому область определения этих тригонометрических ф-ций – вся числовая прямая, то есть промежуток (– ∞; + ∞).

Изучение графиков тригонометрических функций начнем с синуса. В тригонометрии при построении графика синуса принято по оси Ох откладывать значение угла в радианах, а не в градусах. Из-за этого в школьной тетради тяжело точно отметить точки, через которые проходит этот график. Например, возьмем угол, равный 90°. Его величина в радианах π/2, а sinπ/2 = 1. Получается, график должен пройти через точку (π/2; 1). Однако число π/2 – иррациональное, равное примерно 1,5708…, и точно отложить отрезок длиной π/2 невозможно.

Поэтому в учебных целях график строят приближенно (естественно, что на практике точный график можно построить с помощью компьютера с любой требуемой точностью). Считают, что величина π/2 примерно равна 1,5, то есть дроби 3/2. Если выбрать масштаб, при котором единице равны 2 клеточки, то π/2 – это 3 клеточки. Тогда π/6 – это одна клеточка, а π/3 – две.

Мы знаем, что

sin 0 = 0

sin π/6 = 1/2

sin π/2 = 1

Значит, график синуса должен проходить через точки (0; 0), (π/6; 1/2) и (π/2; 1). Отметим их на координатной плоскости:

С помощью некоторых соображений симметрии можно вычислить ещё несколько точек в диапазоне от 0 до 2π. Не будем перечислять их координаты, а просто отметим их на рисунке:

Теперь соединим их плавной кривой:

Мы получили график синуса на промежутке от 0 до 2π. Но ведь мы можем вычислить синус для любого другого угла! При этом мы используем тот факт, что углам, отличающимся на 2π (на один полный оборот), на единичной окружности соответствует одинаковая точка. То есть этим двум углам будут соответствовать точки на графике с одинаковой ординатой (координатой у), но абсциссами, отличающимися на 2π. Другими словами, точку графика можно перенести на 2π (то есть 12 клеточек) влево или вправо:

Перенести можно не одну точку, а сразу всё множество точек, лежащих между 0 и 2π:

Получили ещё два участка графика, на промежутках и . Эти участки также можно переместить влево и вправо. Продолжая этот процесс бесконечно, мы получим весь график у = sinx:

В результате мы получили кривую, которую называют синусоидой.

Теперь построим график косинуса. Мы знаем что

cos 0 = 1

cos π/3 = 1/2

cos π/2 = 1

Получается, что график должен проходить через точки (0;1), (π/3; 1/2) и (π/2; 0). Отметим их на плоскости:

Можно вычислить, используя симметрию на единичной окружности, ещё несколько точек, которые должны лежать на графике. Не приводя этих вычислений, просто отметим эти точки на плоскости:

Соединяем эти точки плавной линией:

Как и в случае с синусом, участок графика косинуса можно перенести на 2π (12 клеточек влево и вправо). В результате таких действий получим окончательный вид ф-ции у = cosх:

Можно заметить несколько особенностей полученных графиков. Во-первых, все точки обоих графиков лежат в «полосе» между прямыми у = 1 и у = – 1. Это следствие того, что и у синуса, и у косинуса область значений – это промежуток :

Во-вторых, график косинуса очень похож на синусоиду. Он имеет такую же форму, но просто смещен на π/2 (3 клеточки) влево. Это не случайно, в будущих уроках мы узнаем причину этого явления. Но, так как график косинуса – это просто смещенная синусоида, то термин «косинусоида» для его обозначения почти не используется – он просто избыточен.

В-третьих, графики обладают периодичностью. Они «повторяются» с периодом 2π. Дело в том, что углам, отличающимся друг от друга на 2π (то есть ровно на один полный поворот в 360°), на единичной окружности соответствует одна и та же точка. То есть справедливы формулы:

sin (x+ 2π) = sinx

cos (x+ 2π) = sinx

В-четвертых, можно заметить, что график косинуса симметричен относительно оси Ох, а график синуса симметричен относительно начала координат. Это значит, что синус является , а косинус – . Напомним, что ф-ция f(x) является нечетной, если справедливо условие

f(x) = – f(– x)

Если f(x) – четная ф-ция, то должно выполняться условие:

f(x) = f(– x)

Действительно, если отложить на единичной окружности углы α и (– α), то можно заметить, что их косинусы будут равны друг другу, и синусы окажутся противоположными:

Поэтому верны формулы:

sin (– α) = – sinα

cos (– α) = cosα

Тригонометрия в Excel: основные функции

Формулы тригонометрии – редкая и сложная задача для работы в Майкрософт Эксель. Тем не менее, здесь есть ряд встроенных функций, помогающих в геометрических расчетах. В этом посте мы рассмотрим основные из них, которые, в компании с учебниками и справочниками, могут решить многие математические задачи. Они участвуют в расчете площади, объема, угла наклона и т.д. Если Вы школьник, студент, или работаете, например, в сфере строительства, эта статья будет Вам очень полезна.

Для корректного расчета геометрических величин, Вам понадобятся познания в элементарных расчетах и некоторые из функций Excel. Так, функция КОРЕНЬ извлечет квадратный корень из заданного числа. Например, запишем: =КОРЕНЬ(121) , и получим результат «11». Хотя правильным решением будет «11» и «-11», программа возвращает только положительный результат в таких случаях.

Еще одна функция – ПИ() , не нуждается в аргументах и является зарезервированной константой. Ее результатом будет известное число 3,1415, описывающее соотношение длины окружности к ее диаметру. Эту функцию-константу можно активно применять в расчетах.

7 Графики синуса и косинуса

Построим график функции . При этом нам опять пригодятся
часы из разд. 2.1.

Если , то, очевидно, . Когда возрастает от 0 до
, число возрастает от 0 до 1 (представьте себе,
как меняется ордината конца стрелки на наших фирменных часах).
Участок графика для от 0 до изображен на
рис. .
При

Чем ближе к , тем более полого идет наша кривая. Это
происходит потому, что проекция конца стрелки на ось
ординат, колеблясь по отрезку , быстрее всего
движется в середине отрезка и замедляется у его краев: мы
это уже обсуждали в разд. 2.1.

симметричны относительно прямой

Задача 7.1  
Запишите уравнение прямой, касающейся графика функции
в точке с координатами .

Кривая на рис б
центрально симметрична относительно точки
с координатами ; это следует из другой формулы
приведения:
(рис. б).

После того, как у нас есть участок графика функции для

, весь график строится уже просто. В самом деле,
когда конец стрелки прошел путь , стрелка вернулась
в исходное положение; при дальнейшем движении все будет
повторяться. Значит, график будет состоять из таких же кусков,
как на рис б. Окончательно график функции
выглядит так, как на рис. .

Теперь построим график функции . Можно было бы строить его так же, как
мы строили график синуса. Мы, однако, изберем другой путь,
который позволит использовать уже имеющуюся у нас информацию.

Именно, воспользуемся формулой приведения
. Эту формулу можно понимать так: функция
принимает те же значения, что и функция , но на
раньше. Например, функция принимает значение 1 при
, а функция
принимает это же
значение уже при . На графике это означает следующее: для
каждой точки графика есть точка графика ,
у которой ордината та же, а абсцисса на меньше
(рис. ).

сдвинуть график

Итак, мы выяснили, что график косинуса получается преобразованием
(сдвигом) из графика синуса. Случаи, когда график одной функции
можно получить преобразованием из графика другой функции,
интересны и сами по себе, поэтому скажем о них несколько слов.

Как, например, будет выглядеть график функции ? Ясно,
что ординаты точек этого графика получаются из ординат
соответствующих точек графика умножением на 2, так что
наш график изобразится сплошной кривой на рис. . Можно
сказать, что график получается из графика растяжением в два раза вдоль оси
ординат.

сжатием в 2 раза к оси ординат.

Попробуем еще построить график функции 
.
Понятно, что он должен получаться каким-то преобразованием из
графика . На первый взгляд может показаться, что это
преобразование — сдвиг влево на вдоль оси абсцисс, по
аналогии с тем, что изображено на рис. . Однако, если
бы это было так, то вышло бы, например, что функция

принимает значение 1 при

, что не соответствует действительности
(проверьте!). Правильно рассуждать так:
, так что функция
принимает те
же значения, что и функция , но на раньше. Так
что сдвиг влево — не на
, а на (рис. ).

Кривые, являющиеся графиками функций
, где ,
, называются синусоидами. Заметим, что кривой
«косинусоида» вводить не надо: как мы видели, график косинуса
— это та же кривая, что и график
синуса, только иначе
расположенная относительно осей координат.

Задача 7.2  
Каковы координаты точек, помеченных на
рис.  вопросительными знаками?

Задача 7.3  
Возьмите свечу, тонкий лист бумаги и острый нож. Намотайте лист
бумаги на свечу в несколько слоев и аккуратно разрежьте эту свечу
вместе с бумагой наискосок ножом. Теперь разверните бумагу. Вы
увидите, что она оказалась разрезанной по волнистой линии.
Докажите, что эта волнистая линия является синусоидой.

Задача 7.4  
Постройте графики функций:

Замечание. Если вы строите графики
тригонометрических функций на клетчатой бумаге, удобно выбрать
немного разные масштабы по осям, с тем чтобы на оси абсцисс
числу  соответствовало целое число клеточек. Например, часто
выбирают такой масштаб: по оси ординат отрезок длины 1 занимает
две клеточки, по оси абсцисс отрезок длины занимает 6
клеточек.

Задача 7.5  
Постройте графики функций:
а)
;
б)
.

Посмотрим, как выглядят на графиках уже известные нам решения
уравнений и . Эти решения являются
абсциссами точек пересечения горизонтальной прямой
с графиком функций (соответственно ). На
рис. , хорошо видны две серии решений,
получающихся при .

По графикам синуса и косинуса видно, на каких промежутках эти
функции возрастают, а на каких убывают. Ясно, например, что
функция возрастает на отрезках
,

,
,…- одним словом, на
всех отрезках
, где
,
и убывает на всех отрезках
, где

.

Задача 7.6  
На каких отрезках возрастает и на каких убывает
функция ?

Задача 7.7  
Сравните числа:

Задача 7.8  
Расположите в порядке возрастания:
, , , , , .

        Написать комментарий

Функция sinc в обработке сигналов

Результат преобразования Фурье функции sinc представляет собой прямоугольник с центром в точке ω = 0. Это позволяет sinc(x) занимать особое место в области обработки сигналов, потому что прямоугольная форма в частотной области является идеализированным откликом идеального фильтра, называемого в англоязычной литературе «brick-wall filter» (фильтр «кирпичная стена»). Другими словами, sinc(x) – это импульсная характеристика идеального фильтра нижних частот.

Использование функции sinc в приложениях фильтрации более заметно в области цифровой обработки сигналов. Следующая диаграмма иллюстрирует сходство между импульсной характеристикой КИХ-фильтра и графиком sinc(x).

Рисунок 2 – Импульсная характеристика КИХ-фильтра

Преобразование Фурье функции sinc представляет собой прямоугольник, а результат преобразования Фурье прямоугольного импульса представляет собой функцию sinc. Если нам нужно сократить дискретный по времени сигнал для выполнения спектрального анализа, мы можем умножить его на прямоугольное окно, и эта операция эквивалентна свертке преобразования Фурье сигнала с функцией sinc.

Функция sinc также появляется при анализе цифро-аналогового преобразования. Идеализированное восстановление аналогового сигнала представляет собой последовательность импульсов, но реальные ЦАП создают «ступенчатую» форму сигнала, применяя к выходным отсчетам удержание нулевого порядка. В частотной области удержание нулевого порядка приводит к выходному спектру, который соответствует идеализированному спектру, умноженному на функцию sinc.

Пошаговая инструкция построения графика функции в Excel 2007

1. Запускаем программу, которая создаст новый чистый лист книги Excel. Подписываем два столбца (B и С), в одном из которых будет записан аргумент x, а в другом — функция y.
2. Заносим в столбец B, значения аргументов x, начиная с ячейки B3. Можно воспользоваться автоматическим копированием ячеек, предварительно задав шаг (разница между ближайшими значениями аргумента). Значения аргумента x можно задать произвольно, но чаще вводят значения близкие к нулю с учетом отрицательных и положительных значений. Очень хорошо будет смотреться график, если значения будут браться симметрично относительно нуля. Предлагаем выбрать значения в промежутке от -3 до +3 с шагом 0,1. В итоге вы получите 60 значений, по которым график функции будет проложен весьма плавно.
3. Далее, в ячейку C3 забьём формулу функции синуса или ту, которую вам надо построить. Если помните тригонометрию, то функция синуса записывается в виде y = sin x.
4. Однако формулы в Excel отличаются от записей математических формул, и всегда начинаются со знака равно — «=». В нашем примере, вы должны записать в ячейке C3 формулу вида = SIN(B3).
5. Забивать формулу в каждой новой строке очень долго и неудобно (представляете, нужно вбить 60 раз!). Для того чтобы формула была в каждой ячейке необходимо «протянуть» формулу из первой ячейки на все остальные. При этом ссылка на ячейку, откуда берётся значение аргумента будет смещаться построчно.
6. Для этого щёлкаем на ячейке с набранной формулой. В правом нижнем углу ячейки должен появиться небольшой квадратик. Следует навести на него курсор мышки, и когда квадратик превратится в крестик, нажимаем правую кнопку и копируем «протягиванием» формулу вниз на нужное количество ячеек.
7. Переходим к построению графика функции. Заходим в Меню «Вставка» -> «Диаграмма» и выбираем подходящую точечную диаграмму. Жмем волшебную кнопку .
8. В открывшемся окне щелкаем вкладку «Ряд». Добавляем ряд нажатием кнопки .
9. В этом окне нужно задать, из какого диапазона будут выбраны числа для графика. Чтобы выбрать нужные ячейки, следует щёлкнуть поочередно по кнопкам.
10. После этого выделим те ячейки, откуда будут выбраны значения для x и y.
11. Последним шагом станет нажатие кнопки .

Определение 2: Бесконечный ряд

Я спрятал слона в комнате: как мы вообще вычисляем синус? Мой калькулятор, что, каждый раз рисует окружность и замеряет его?

Рад вам поведать, как можно вычислить синус без окружностей.

Синус — это ускорение в сторону, противоположную тому, где вы находитесь.

Пользуясь нашим примером с банковским счётом: представьте, что ваш шеф каждую неделю решил менять вашу зарплату на сумму, противоположную текущей на вашем банковском счёте. Если у вас сейчас есть 50 рублей, на следующей неделе шеф выдаст на 50 рублей меньше. Конечно, поскольку ваш доход будет 75 рублей, вы всё еще будете в плюсе (75 — 50) но в итоге ваш баланс уменьшится, поскольку «прибавки» шефа превзойдут ваши доходы.

Но не отчаивайтесь! Как только баланс становится отрицательным (скажем, у вас -50 рублей), ваш босс выдаст вам на целых 50 рублей больше. Затем снова баланс станет отрицательным (с его ростом шеф выдает всё меньше денег), и так будет продолжаться постоянно. Баланс будет то положительный, то нулевой, то отрицательный.

Этот пример также поясняет, почему в нейтральной точке (в 0) скорость синуса максимальна: когда вы на максимуме, вы начинаете падать и собирать всё больше «отрицательных прибавок», которые довольно быстро тянут вас к 0. После прохождения 0 вы начинаете получать наиболее значительные положительные прибавки и замедляетесь., потому что как только уходите в плюс, шеф опять начинает отнимать от вашей зарплаты.

Между прочим: поскольку синус — это ускорение, обратное к вашему текущему положению, а окружность сделана из горизонтальной и вертикальной синусоиды… вы поняли! Круговое движение может быть описано как «постоянное движение в направлении, противоположном текущей позиции, по направлению к горизонтальному и вертикальному центру».

История тригонометрии

Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.

В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.

Покопаемся в расчётах

Давайте опишем синус с помощью вычислений. Как в случае с e, мы можем разбить синус на маленькие части:

• Начнем с 0 и дорастем до единичной скорости
• В каждый момент времени мы будем замедляться из-за отрицательного ускорения

И как обо всем этом думать? Посмотрите, как каждое наше действие изменяет расстояние от центра:

• Наш первый скачок увеличивает расстояние линейно: у (расстояние от центра) = х (затраченное время)
• В любой момент, мы чувствуем возвращающую силу -х. Мы интегрируем дважды, чтобы обратить отрицательное ускорение в расстояние:

Понимание того, как ускорение влияет на расстояние, похоже на наблюдение за тем, как прибавки влияют на ваш банковский счёт. «Прибавка» должна изменять ваш доход, а ваш доход изменяет состояние вашего банковского счёта (два интеграла «по команде»).

Так что после «х» секунд, мы уже догадаемся, что синус это «х» (начальный импульс) минус x^3/3! (эффект ускорения):

Что-то не так — синус не спадает! В случае с е мы видели, что «проценты приносят свои проценты», в случае с синусом происходит то же самое. «Возвращающая сила» меняет наше расстояние на -x^3/3!, что создает другую возвращающую силу. Рассмотрите пружину: если отпустить пружину с грузиком внизу, то толчок будет достаточно большим, чтобы создать другой толчок, который потянет грузик обратно вверх, а потом снова вниз. Ох уж эти неугомонные пружины!

Нам нужно рассмотреть каждую возвращающую силу:

• y = x — это наше изначальное движение, которое создает возвращающую силу удара:
• y = -x^3/3!, которая создает возвращающую силу удара:
• y = x^5/5!, которая создает возвращающую силу удара:
• y = -x^7/7!, которая создает возвращающую силу удара…

Точь-в-точь как е, синус можно описать бесконечным уравнением:

Я видел эту формулу много раз, но до меня дошел ее смысл только когда я представил синус как комбинацию начального импульса и возвращающих сил. Начальный импульс (y = x, растет вверх) в итоге превосходит возвращающая сила (которая толкает нас вниз), и эта сила в свою очередь постепенно компенсируется своей возвращающей силой (что снова толкает нас вверх), и так далее.

Пара интересных заметок:

• Рассматривайте «возвращающую силу» как «положительный или отрицательный процент». Так проще понять связь синуса и е в формуле Эйлера. Синус ведет себя как е, кроме моментов, когда он начинает зарабатывать отрицательный процент. Тут нам еще надо поучиться :).
• Для маленьких чисел «y = x» — неплохое предположение для синуса. Мы просто берем начальный импульс и игнорируем возвращающие силы.

π без картинок

Представьте себе слепого пришельца, который может различать только тени света и темноты. Можете ли вы объяснить ему, что такое π? Довольно сложно пояснить в такой ситуации понятие длины окружности, верно?

Давайте вернемся немного назад. Синус — это циклическая функция. Это означает, что значит ее значения должны…повторяться! Синус начинается с 0, идет к 1, к 0, к -1, к 0 и так далее.

Давайте определим π как время, за которое синус поднимается с 0 до 1, и обратно возвращается к 0. Вау! Теперь и мы используем π без всяких окружностей!

• Синус — это плавное передвижение вперёд-назад
• π — это время движения синуса с 0 до 1 и обратно до 0
• n * π (0 * π, 1 * π, 2 * π и т.д.) — это момент времени, в котором синус равен 0
• 2 * π, 4 * π, 6 * π и т.д. — полные периоды синуса.

Ага! Вот почему π встречается в таком количестве формул! π не «принадлежит» окружностям больше, чем 0 или 1 — π касается возвращения синуса в центр! Окружность — это пример фигуры, которая повторяется и возвращается в центр каждые 2*π единиц. Но вибрации, скачки и т.д. возвращаются к центру каждый π!

Вопрос: если π — это половина естественного периода, почему оно длится вечно (является иррациональным числом)?

Можно я отвечу вопросом на вопрос, А почему длина диагонали «единичной окружности» равна квадратному корню из 2, который также уходит в бесконечность?

Но да, я понимаю, что это философски не удобно, когда природа ведет себя произвольно. Но что поделаешь…

Насколько быстр синус?

Я вас немного запутал. Сначала я сказал: «представьте, что синусу нужно 10 секунд, чтобы добраться с 0 до максимума». А сейчас я говорю, что ему надо π секунд, чтобы добраться с 0 до максимума и обратно спуститься к 0. Что происходит?

• sin(x) — это базовая синусная волна, которой действительно требуется π единиц времени, чтобы пройти путь с 0 до максимума и опять до 0 (или 2*π, чтобы обойти свой полный период)
• sin(2x) — это синусоида, которая движется вдвое быстрее
• sin(x/2) — это синусоида, которая движется вдвое медленее базовой

Так что мы используем sin(n*x) , чтобы сделать синус, который будет двигаться так быстро, как нам нужно. Очень часто слово «синусоида» используется для указания общей формы волны, а не конкретной скорости.