Корреляция

Вычисляем коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции — это показатель взаимного вероятностного влияния двух случайных величин.
Коэффициент корреляции R может принимать значения от -1 до +1. Если абсолютное значение находится ближе к 1,
то это свидетельство сильной связи между величинами, а если ближе к — то, это говорит о слабой связи или ее отсутствии. Если абсолютное значение
R равно единице, то можно говорить о функциональной связи между величинами, то есть одну величину можно
выразить через другую посредством математической функции.

Rx,y

=

cov( X,Y ) σxσy

( 1.1 ),    где:

cov( X,Y ) — ковариация случайных величин Х и Y

σx2

=

1 n

n Σ k = 1

(xk-Mx)2  ,

σy2

=

1 n

n Σ k = 1

(yk-My)2     ( 1.2 ),    — оценки дисперсий случайных величин X и Y соответственно.

Mx

=

1 n

n Σ k = 1

xk  ,

My

=

1 n

n Σ k = 1

yk     ( 1.3 ),    — оценки математического ожидания случайных величин X и Y соответственно.

Rx,y

=

Mxy — MxMy SxSy

( 1.4 ),    где:

Mx

=

1 n

n Σ k = 1

xk ,

My

=

1 n

n Σ k = 1

yk ,

Mxy

=

1 n

n Σ k = 1

xkyk     ( 1.5 )

Sx2

=

1 n

n Σ k = 1

xk2 — Mx2 ,

Sy2

=

1 n

n Σ k = 1

yk2 — My2     ( 1.6 )

На практике, для вычисления коэффициента корреляции чаще используется формула ( 1.4 )
т.к. она требует меньше вычислений. Однако если предварительно была вычислена ковариация cov(X,Y), то выгоднее использовать
формулу ( 1.1 ), т.к. кроме собственно значения ковариации можно воспользоваться и результатами промежуточных вычислений.

1.1 Вычислим коэффициент корреляции по формуле ( 1.4 ), для этого
вычислим значения x_k2, y_k2 и x_ky_k
и занесем их в таблицу 1.

Таблица 1

k	xk	yk	хk2	yk2	хkyk
1	2	3	4	5	6
1	25.2	30.8	635.04000	948.64000	776.16000
2	26.4	29.4	696.96000	864.36000	776.16000
3	26.0	30.2	676.00000	912.04000	785.20000
4	25.8	30.5	665.64000	930.25000	786.90000
5	24.9	31.4	620.01000	985.96000	781.86000
6	25.7	30.3	660.49000	918.09000	778.71000
7	25.7	30.4	660.49000	924.16000	781.28000
8	25.7	30.5	660.49000	930.25000	783.85000
9	26.1	29.9	681.21000	894.01000	780.39000
10	25.8	30.4	665.64000	924.16000	784.32000
11	25.9	30.3	670.81000	918.09000	784.77000
12	26.2	30.5	686.44000	930.25000	799.10000
13	25.6	30.6	655.36000	936.36000	783.36000
14	25.4	31	645.16000	961.00000	787.40000
15	26.6	29.6	707.56000	876.16000	787.36000
16	26.2	30.4	686.44000	924.16000	796.48000
17	26	30.7	676.00000	942.49000	798.20000
18	22.1	31.6	488.41000	998.56000	698.36000
19	25.9	30.5	670.81000	930.25000	789.95000
20	25.8	30.6	665.64000	936.36000	789.48000
21	25.9	30.7	670.81000	942.49000	795.13000
22	26.3	30.1	691.69000	906.01000	791.63000
23	26.1	30.6	681.21000	936.36000	798.66000
24	26	30.5	676.00000	930.25000	793.00000
25	26.4	30.7	696.96000	942.49000	810.48000
26	25.8	30.8	665.64000	948.64000	794.64000

1.2. Вычислим M_x по формуле ( 1.5 )1.2.1.x_k12261.2.2.M_x =  25.7500001.3. Аналогичным образом вычислим M_y1.3.1.y_k12261.3.2.M_y =  30.5000001.4. Аналогичным образом вычислим M_xy1.4.1.1.4.2.M_xy =  785.1088461.5. Вычислим значение S_x2 по формуле ( 1.6. )1.5.1.1.5.2.1.5.3._xx2S_x22 0.664811.6. Вычислим значение S_y2 по формуле ( 1.6. )1.6.1.1.6.2.1.6.3._yy2S_y22 0.205381.7. Вычислим произведение величин S_x2 и S_y2_x2_y21.8. Извлечем и последнего числа квадратный корень, получим значение S_xS_yxy1.9. Вычислим значение коэффициента корреляции по формуле (1.4.)ОТВЕТ:      R_x,y  =  -0.720279

Задачи корреляционного анализа

Исходя из приведенных выше определений, можно сформулировать следующие задачи описываемого метода: получить информацию об одной из искомых переменных с помощью другой; определить тесноту связи между исследуемыми переменными.

Корреляционный анализ предполагает определение зависимости между изучаемыми признаками, в связи с чем задачи корреляционного анализа можно дополнить следующими:

• выявление факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак;
• выявление неизученных ранее причин связей;
• построение корреляционной модели с ее параметрическим анализом;
• исследование значимости параметров связи и их интервальная оценка.

9.1.2. Проверка статистических гипотез о связи переменных

Выборочный коэффициент корреляции оценивает подразумеваемую исследователем реальную связь между переменными. Как и в случае оценки среднего значения, нас интересуют два вопроса: (1) Насколько сильна связь между переменными; (2) Насколько надежна наша оценка. Сила связи между переменными по всей генеральной совокупности существует объективно. Если ее измерять корреляцией, то она будет выражаться числом от −1 до 1. Выборочная корреляция этих переменных будет колебаться вокруг истинного показателя силы связи. Трудность состоит в том, что, получив выборочную корреляцию, мы не можем знать, ни насколько она отклоняется от истинного значения, ни даже в какую сторону. В случае корреляции оценка обычно выражается в терминах значимости.

Проделаем небольшое упражнение.

Упражнение 9.1.2(1). Возьмите две симметричные монеты достоинством в один рубль и один евро. Проведите серию четырех подбрасываний пары монет и запишите результаты в виде ​\( (x_1, y_1),\dots,(x_4, y_4) \)​ , полагая

​\( x_i=0 \)​, если рубль выпал цифрой;

​\( x_i=1 \), если рубль выпал гербом;

​\( y_i=0 \), если евро выпал цифрой;

​\( y_i=1 \), если евро выпал гербом.

Подсчитайте коэффициент корреляции Пирсона. Истинная корреляция между результатами двух монет равна, разумеется, нулю. Повторите процедуру несколько раз и убедитесь, что нулевое значение выборочного коэффициента корреляции выпадает примерно один раз из трех. При многократном повторении опыта можно убедиться, что его результат имеет некоторое распределение, симметричное относительно нуля. Это распределение зависит от объема выборки n: чем больше n, тем меньше дисперсия распределения, тем ближе к нулю ее вероятные значения.

В таблице 9.1.2(2) приведены двухсторонние квантили распределения выборочного коэффициента корреляции по Пирсону для ​\( n=10 \)​. Они рассчитаны для выборок, полученных испытаниями двух нормально распределенных случайных величин, теоретическая корреляция между которыми равна нулю. Дихотомический результат подбрасывания монеты не распределен нормально, однако некоторое представление о возможных результатах наших испытаний табличный квантиль все же дает.

Таблица 9.1.2(2) Двусторонние квантили распределения коэффициента Пирсона для n = 10

​\( \alpha \)​	0.05	0.025	0.01	0.005
​\( r_\alpha(10) \)​	0.497	0.576	0.658	0.709

Обычно при исследовании связи переменных статистической гипотезой ​\( H_0 \)​ будет гипотеза об отсутствии связи, т.е. о независимости переменных. Альтернативная гипотеза \( H_1 \)​ (т.е. гипотеза, к которой мы склоняемся, получив большие по модулю значения выборочной корреляции) будет утверждать только наличие связи . Можно оценить значимость относительно данного результата (полученной парной выборки) гипотез о других значениях теоретической корреляции, но это требует некоторых дополнительных усилий (см. подпараграф ). Если истинна гипотеза \( H_0 \)​, то выборочный коэффициент корреляции будет принимать значения, более или менее близкие к нулю. Если выборочная корреляция принимает достаточно большое по модулю значение, которому соответствует значимость, измеряемая маленьким числом, то мы склоняемся к гипотезе \( H_1 \)​ о наличии связи, но без указания точного значения теоретической корреляции.

Можно заметить, что если верна гипотеза  об отсутствии зависимости между случайными величинами, то выборочный коэффициент при \( n=10 \) может принимать тем не менее довольно большие значения, так что уровень значимости 0.05 для принятия гипотезы о зависимости случайных величин требует, чтобы выборочный коэффициент корреляции достигал почти 0.5 (см. ). В связи с этим надо иметь в виду, что даже выборочная корреляция, например 0.6, вполне может согласовываться с истинной корреляцией, равной 0.2 .

Частная корреляция больше чем трех величин

5. В соответствии с общей концепцией мы рассуждаем следующим образом.

Пусть имеется p-мерное невырожденное нормальное распределение, фиксируем p—2 случайных величины, то получаем частную корреляцию оставшихся двух (скажем, x₁ и x₂):

,     (6)

где C_ij — алгебраическое дополнение для p_ij в определителе

.     (7)

Подобно (5), (6) следует рассматривать как общее определение частного коэффициента корреляции между x₁ и x₂ при фиксированных x₃, …, x_p.

6. Полезно рассмотреть ту же задачу с другой точки зрения. Обозначим f(x₁, …, x_k | x_k+1, …, x_p) условную совместную плотность распределения величин x₁, …, x_k, когда x_k+1, …, x_p фиксированы, а g(x_k+1, …, x_p) — совместное маргинальное распределение x_k+1, …, x_p.

Совместная х. ф. всех p величин есть

,

где  — условная совместная х. ф. для x₁, …, x_k. Из многомерной теоремы обращения следует, что

.     (8)

Если в (8) положить t₁=t₂=…=t_k=0, то из равенства  единице получаем

.     (9)

Следовательно, после деления (8) на (9) находим

.     (10)

Этот общий результат вытекает из теоремы Барлетта (1938).

Предположим теперь, что наши p величин имеют многомерное нормальное распределение.

Тогда, используя их х. ф., преобразуем подынтегральную функцию числителя в (10):

            (11)

Теперь интеграл относительно t_k+1, …, t_p от двух последних множителей в правой части (11) является обратным преобразованием многомерной нормальной х. ф. величин x_k+1, …, x_p, причем x_j отсчитывается от значения . Это изменение начал координат не влияет на корреляции.

Если обозначить D корреляционную матрицу величин x_k+1, …, x_p, то с точностью до постоянного множителя интеграл от (11) будет равен

.

Учитывая сказанное, из (10) имеем

          (12)

Таким образом, если  обозначает ковариацию между x_u и x_v в условном распределении величин x₁, …, x_k, а  — их безусловную ковариацию, то, сравнивая в (12) коэффициенты при t_u и t_v находим

.     (13)

Это выражение получено в предположении, что исходные величины нормированы. Если теперь отказаться от нормировки, так что x_i будет иметь дисперсию , то каждое p заменится на соответствующие ему , , Dlj — на , и мы получим более общую формулу соотношения (13):

.     (14)

Равенство (14) не зависит от фиксируемых значений x_k+1, …, x_p.

Если обозначить безусловную (k×k)-матрицу рассеяния {} через A, (k×(p—k))-матрицу {} через B’ и ((p—k)×(p—k))- матрицу рассеяния, из которой D получается в результате нормировки, через E, то (14) утверждает, что условная матрица рассеяния равна

.

7. В частности, если зафиксировать только одну переменную, скажем x_p, то D_pp=1, и условная ковариация (14) тогда равна

.     (15)

При u=v из (15) находим условную дисперсию u:

.

Из двух последних формул получаем условный коэффициент корреляции того же вида, что и (5):

.

Если зафиксируем все переменные, кроме двух, скажем x₁ и x₂, то из (14) будем иметь

.     (16)

Рассматривая (7), находим, что минор элемента p₁₂, а именно

,

может быть разложен по его первой строке и столбцу в виде

,

и аналогично для миноров элементов p₁₁, p₂₂. Таким образом, (16) представимо в форме

,

что вновь совпадает с (6).

Связанные определения:Выборочный коэффициент корреляцииКорреляционный анализКорреляцияКоэффициент корреляцииНекоррелированный

Расчет коэффициента корреляции

Теперь давайте попробуем посчитать коэффициент корреляции на конкретном примере. Имеем таблицу, в которой помесячно расписана в отдельных колонках затрата на рекламу и величина продаж. Нам предстоит выяснить степень зависимости количества продаж от суммы денежных средств, которая была потрачена на рекламу.

Способ 1: определение корреляции через Мастер функций

Одним из способов, с помощью которого можно провести корреляционный анализ, является использование функции КОРРЕЛ. Сама функция имеет общий вид КОРРЕЛ(массив1;массив2).

1. Выделяем ячейку, в которой должен выводиться результат расчета. Кликаем по кнопке «Вставить функцию», которая размещается слева от строки формул.

В списке, который представлен в окне Мастера функций, ищем и выделяем функцию КОРРЕЛ. Жмем на кнопку «OK».

Открывается окно аргументов функции. В поле «Массив1» вводим координаты диапазона ячеек одного из значений, зависимость которого следует определить. В нашем случае это будут значения в колонке «Величина продаж». Для того, чтобы внести адрес массива в поле, просто выделяем все ячейки с данными в вышеуказанном столбце.

В поле «Массив2» нужно внести координаты второго столбца. У нас это затраты на рекламу. Точно так же, как и в предыдущем случае, заносим данные в поле.

Жмем на кнопку «OK».

Как видим, коэффициент корреляции в виде числа появляется в заранее выбранной нами ячейке. В данном случае он равен 0,97, что является очень высоким признаком зависимости одной величины от другой.

Способ 2: вычисление корреляции с помощью пакета анализа

Кроме того, корреляцию можно вычислить с помощью одного из инструментов, который представлен в пакете анализа. Но прежде нам нужно этот инструмент активировать.

1. Переходим во вкладку «Файл».

В открывшемся окне перемещаемся в раздел «Параметры».

Далее переходим в пункт «Надстройки».

В нижней части следующего окна в разделе «Управление» переставляем переключатель в позицию «Надстройки Excel», если он находится в другом положении. Жмем на кнопку «OK».

В окне надстроек устанавливаем галочку около пункта «Пакет анализа». Жмем на кнопку «OK».

После этого пакет анализа активирован. Переходим во вкладку «Данные». Как видим, тут на ленте появляется новый блок инструментов – «Анализ». Жмем на кнопку «Анализ данных», которая расположена в нем.

Открывается список с различными вариантами анализа данных. Выбираем пункт «Корреляция». Кликаем по кнопке «OK».

Открывается окно с параметрами корреляционного анализа. В отличие от предыдущего способа, в поле «Входной интервал» мы вводим интервал не каждого столбца отдельно, а всех столбцов, которые участвуют в анализе. В нашем случае это данные в столбцах «Затраты на рекламу» и «Величина продаж».

Параметр «Группирование» оставляем без изменений – «По столбцам», так как у нас группы данных разбиты именно на два столбца. Если бы они были разбиты построчно, то тогда следовало бы переставить переключатель в позицию «По строкам».

В параметрах вывода по умолчанию установлен пункт «Новый рабочий лист», то есть, данные будут выводиться на другом листе. Можно изменить место, переставив переключатель. Это может быть текущий лист (тогда вы должны будете указать координаты ячеек вывода информации) или новая рабочая книга (файл).

Когда все настройки установлены, жмем на кнопку «OK».

Так как место вывода результатов анализа было оставлено по умолчанию, мы перемещаемся на новый лист. Как видим, тут указан коэффициент корреляции. Естественно, он тот же, что и при использовании первого способа – 0,97. Это объясняется тем, что оба варианта выполняют одни и те же вычисления, просто произвести их можно разными способами.

Как видим, приложение Эксель предлагает сразу два способа корреляционного анализа. Результат вычислений, если вы все сделаете правильно, будет полностью идентичным. Но, каждый пользователь может выбрать более удобный для него вариант осуществления расчета.

Опишите, что у вас не получилось.
Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Функция КОРРЕЛ для определения взаимосвязи и корреляции в Excel

КОРРЕЛ – функция, применяемая для подсчета коэффициента корреляции между 2-мя массивами. Разберем на четырех примерах все способности этой функции.

Примеры использования функции КОРРЕЛ в Excel

Первый пример. Есть табличка, в которой расписана информация об усредненных показателях заработной платы работников компании на протяжении одиннадцати лет и курсе $. Необходимо выявить связь между этими 2-умя величинами. Табличка выглядит следующим образом:

24

Алгоритм расчёта выглядит следующим образом:

25

Отображенный показатель близок к 1. Результат:

26

Определение коэффициента корреляции влияния действий на результат

Второй пример. Два претендента обратились за помощью к двум разным агентствам для реализации рекламного продвижения длительностью в пятнадцать суток. Каждые сутки проводился социальный опрос, определяющий степень поддержки каждого претендента. Любой опрошенный мог выбрать одного из двух претендентов или же выступить против всех. Необходимо определить, как сильно повлияло каждое рекламное продвижение на степень поддержки претендентов, какая компания эффективней.

27

Используя нижеприведенные формулы, рассчитаем коэффициент корреляции:

• =КОРРЕЛ(А3:А17;В3:В17).
• =КОРРЕЛ(А3:А17;С3:С17).

Результаты:

28

Из полученных результатов становится понятно, что степень поддержки 1-го претендента повышалась с каждыми сутками проведения рекламного продвижения, следовательно, коэффициент корреляции приближается к 1. При запуске рекламы другой претендент обладал большим числом доверия, и на протяжении 5 дней была положительная динамика. Потом степень доверия понизилась и к пятнадцатым суткам опустилась ниже изначальных показателей. Низкие показатели говорят о том, что рекламное продвижение отрицательно повлияло на поддержку. Не стоит забывать, что на показатели могли повлиять и остальные сопутствующие факторы, не рассматриваемые в табличной форме.

Анализ популярности контента по корреляции просмотров и репостов видео

Третий пример. Человек для продвижения собственных роликов на видеохостинге Ютуб применяет соцсети для рекламирования канала. Он замечает, что существует некая взаимосвязь между числом репостов в соцсетях и количеством просмотров на канале. Можно ли про помощи инструментов табличного процессора произвести прогноз будущих показателей? Необходимо выявить резонность применения уравнения линейной регрессии для прогнозирования числа просмотров видеозаписей в зависимости от количества репостов. Табличка со значениями:

29

Теперь необходимо провести определение наличия связи между 2-мя показателями по нижеприведенной формуле:

0,7;ЕСЛИ(КОРРЕЛ(A3:A8;B3:B8)>0,7;”Сильная  прямая зависимость”;”Сильная обратная зависимость”);”Слабая зависимость или ее отсутствие”)’ class=’formula’>

Если полученный коэффициент выше 0,7, то целесообразней применять функцию линейной регрессии. В рассматриваемом примере делаем:

30

Теперь производим построение графика:

31

Применяем это уравнение, чтобы определить число просматриваний при 200, 500 и 1000 репостов: =9,2937*D4-206,12. Получаем следующие результаты:

32

Функция ПРЕДСКАЗ позволяет определить число просмотров в моменте, если было проведено, к примеру, двести пятьдесят репостов. Применяем: 0,7;ПРЕДСКАЗ(D7;B3:B8;A3:A8);”Величины не взаимосвязаны”)’ class=’formula’>. Получаем следующие результаты:

33

Особенности использования функции КОРРЕЛ в Excel

Данная функция имеет нижеприведенные особенности:

1. Не учитываются ячейки пустого типа.
2. Не учитываются ячейки, в которых находится информация типа Boolean и Text.
3. Двойное отрицание «–» применяется для учёта логических величин в виде чисел.
4. Количество ячеек в исследуемых массивах обязаны совпадать, иначе будет выведено сообщение #Н/Д.

Примеры решений онлайн: линейная регрессия

Простая выборка

Пример 1. Имеются данные средней выработки на одного рабочего Y (тыс. руб.) и товарооборота X (тыс. руб.) в 20 магазинах за квартал. На основе указанных данных требуется:
1) определить зависимость (коэффициент корреляции) средней выработки на одного рабочего от товарооборота,
2) составить уравнение прямой регрессии этой зависимости.

Пример 2. С целью анализа взаимного влияния зарплаты и текучести рабочей силы на пяти однотипных фирмах с одинаковым числом работников проведены измерения уровня месячной зарплаты Х и числа уволившихся за год рабочих Y:
X 100 150 200 250 300
Y 60 35 20 20 15
Найти линейную регрессию Y на X, выборочный коэффициент корреляции.

Пример 3. Найти выборочные числовые характеристики и выборочное уравнение линейной регрессии $y_x=ax+b$. Построить прямую регрессии и изобразить на плоскости точки $(x,y)$ из таблицы. Вычислить остаточную дисперсию. Проверить адекватность линейной регрессионной модели по коэффициенту детерминации.

Пример 4. Вычислить коэффициенты уравнения регрессии. Определить выборочный коэффициент корреляции между плотностью древесины маньчжурского ясеня и его прочностью. Решая задачу необходимо построить поле корреляции, по виду поля определить вид зависимости, написать общий вид уравнения регрессии Y на Х, определить коэффициенты уравнения регрессии и вычислить коэффициенты корреляции между двумя заданными величинами.

Пример 5. Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей X и стоимостью ежемесячного технического обслуживания Y. Для выяснения характера этой связи было отобрано 15 автомобилей. Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

Корреляционная таблица

Пример 6. Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X по заданной корреляционной таблице

Пример 7. В таблице 2 приведены данные зависимости потребления Y (усл. ед.) от дохода X (усл. ед.) для некоторых домашних хозяйств.
1. В предположении, что между X и Y существует линейная зависимость, найдите точечные оценки коэффициентов линейной регрессии.
2. Найдите стандартное отклонение $s$ и коэффициент детерминации $R^2$.
3. В предположении нормальности случайной составляющей регрессионной модели проверьте гипотезу об отсутствии линейной зависимости между Y и X.
4. Каково ожидаемое потребление домашнего хозяйства с доходом $x_n=7$ усл. ед.? Найдите доверительный интервал для прогноза.
Дайте интерпретацию полученных результатов. Уровень значимости во всех случаях считать равным 0,05.

Решение об исследовании зависимости (4 страницы)

Пример 8. Распределение 100 новых видов тарифов на сотовую связь всех известных мобильных систем X (ден. ед.) и выручка от них Y (ден.ед.) приводится в таблице:
Необходимо:
1) Вычислить групповые средние и построить эмпирические линии регрессии;
2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:
А) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
Б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y;
В) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю выручку от мобильных систем с 20 новыми видами тарифов.

Коэффициент корреляции

Пример 9. На основании 18 наблюдений установлено, что на 64% вес X кондитерских изделий зависит от их объема Y. Можно ли на уровне значимости 0,05 утверждать, что между X и Y существует зависимость?

Пример 10. Исследование 27 семей по среднедушевому доходу (Х) и сбережениям (Y) дало результаты: $\overline{X}=82$ у.е., $S_x=31$ у.е., $\overline{Y}=39$ у.е., $S_y=29$ у.е., $\overline{XY} =3709$ (у.е.)2. При $\alpha=0,05$ проверить наличие линейной связи между Х и Y. Определить размер сбережений семей, имеющих среднедушевой доход $Х=130$ у.е.

Нужно решить задачи по на тему регрессия и корреляция?

Оставьте заявку сегодня

Коэффициент корреляции

Рисунок 4. Сравнение автокорреляционной функции (АКФ) и кросскорреляционной функции (ВКФ) для трех разных отведений

Значение корреляционного анализа состоит в нахождении автокорреляционной функции, которая показывает преобладающие ритмы, или взаимно-корреляционной функции, отражающей связь фрагмента обрабатываемого сигнала и эталона сигнала без помех и шумов или же связь между двумя неочищенными сигналами. (рис. 4) Биомедицинские сигналы относятся к квазипериодическим сигналам. ЭЭГ-сигналы содержат эпохи, имеющие схожие друг с другом характеристики. Эпоха ЭЭГ-сигнала – это произвольно выделенный период времени в записи ЭЭГ (чаще всего составляет 10 с.) В качестве эталона какой-либо эпохи ЭЭГ-сигнала используется либо стандартный фрагмент данного сигнала, свободный от помех и шумов, либо искусственно созданная модель стандартного фрагмента ЭЭГ-сигнала, построенная на основе заранее известных данных о форме и амплитудно-временных характеристик “чистого” фрагмента. Сравнение автокорреляционной функции (АКФ) и кросскорреляционной функции (ВКФ) для трех разных отведений представлено на рис. 4.  График под буквой г изображает автокорреляционную функцию фрагмента а. Подобная функция графика свидетельствует о том, что сходство двух эпох данного сигнала сходит на ноль относительно медленно. Следовательно, мы можем сделать вывод о периодичности процессов, протекающих в данном отведении, т.к. отдельные его фрагменты достаточно сильно схожи друг с другом. Аналогичные выводы можно сделать и о сигнале на графике б, опираясь на его функцию, обозначенную буквой д.

Рисунок 5. Применение корреляционного анализа к обработке ЭЭГ-сигнала

С другой стороны, график в, автокорреляционная функция которого изображена на рисунке е, изображает хаотический процесс, отдельные фрагменты которого не подобны друг другу. Об этом свидетельствует крайне быстрое затухание его автокорреляционной функции. Т.о. процессы, протекающие в данном отведении, непериодичны, т.к. отдельные фрагменты графика мало схожи друг с другом.

График ж изображает кросс-корреляционную функцию между сигналами а и б. Ее медленное затухание свидетельствует о наличии взаимовлияния фрагментов а и б. График з и график и отражают кросс-корреляционную функцию между сигналами б–в и а–в соответственно. Поскольку затухание графика происходит достаточно быстро, мы можем сделать вывод о том, что между данными отрезками ЭЭГ-сигнала отсутствует существенная взаимосвязь. 

Рисунок 6. Результат сравнения графиков напряжения при использовании сухих и влажных электродов

Корреляционный анализ применительно к исправлению графика ЭЭГ можно изобразить так: в центре иллюстрации приведено два графика – график воздействия стимула сверху (синий цвет) и фрагмент ЭЭГ снизу (синий цвет).  (рис. 5)

В правой части иллюстрации изображены графики скорости воздействия стимула (синий цвет) и средней формы волны (розовый цвет). Последний был получен путем суммации изначальных ЭЭГ-графиков. Их также подвергли кросскорелляционному анализу, результат которого приведен ниже (розовый цвет). Затем, используя полученные данные о корреляции, был построен исправленный график ЭЭГ-сигнала (розовый цвет).

В левой части изображены графики скорости воздействия стимула (синий цвет) и мощности ЭЭГ (зеленый цвет). Их подвергли кросскорелляционному анализу, результат которого приведен ниже (зеленый цвет). Затем, используя полученные данные о корреляции, был построен исправленный график ЭЭГ-сигнала (зеленый цвет).

В случае, изображенном на рис. 6, сравниваются графики напряжения при использовании сухих (красный) и влажных (синий) электродов. Степень корреляции результатов представлена в виде графика черного цвета в верхней части изображения.